DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
I.II.I Construcción Del Diagrama De Árbol
Sean: A={2,6,0} y B={3,7}
a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol);
b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;
c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;
d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.
‘+’‘’INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LEÓN.Licenciatura en Administración Camarena Monjaraz Columba’‘’+’
I. DIAGRAMA DE ARBOL.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución:
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
1) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,
Solución:
A = gana el equipo A
B = gana el equipo B
En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;
AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.
2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.
Solución:
Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.
. DIAGRAMA DE ARBOL.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
1) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,
Solución:
A = gana el equipo A
B = gana el equipo B
A
A
A A
B A
B
B B
A
A A
A
B B B
B
B
En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;
AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.
2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.
Solución:
$4 G $4
G $3
$3 G
G P $2
P G$3
$2 P
$1 P $0
$3 G $4
$2 G
$1 G $2
G P $2
G $2
P P
$1 P $1
P $0 P $0
$0
Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.
martes, 7 de octubre de 2008
PERMUTACIONES Y CONVINACIONES
D) PERMUTACIONES.
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.
b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
Solución:
a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:
CAMBIOS
PRESIDENTE:
Daniel
Arturo
Rafael
Daniel
SECRETARIO:
Arturo
Daniel
Daniel
Rafael
TESORERO:
Rafael
Rafael
Arturo
Arturo
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.
A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ejem.
10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800
8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320
6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.
Obtención de fórmula de permutaciones.
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solución:
Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces
nPn= n!
Ejemplos:
1) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
Solución:
Por principio multiplicativo:
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.
Por Fórmula:
n = 25, r = 5
25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación
2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera
Por Fórmula:
n = 8, r = 8
8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.
b. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
Por fórmula:
n =8, r = 3
8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
3) ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.
Solución:
a. Por fórmula
n = 6, r = 3
6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles
Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo
b. Por el principio multiplicativo
6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles
¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.
4) a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?
Solución:
a. Por fórmula:
n = 12, r = 5
12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego
a. Por principio multiplicativo:
1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición
a. Por principio multiplicativo
1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas
5) Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso
Por fórmula:
26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso
a. Por fórmula:
1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6
b. Por fórmula:
1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.
Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.
b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).
Solución:
a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente).
¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?
Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.
b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:
CAMBIOS
PRESIDENTE:
Daniel
Arturo
Rafael
Daniel
SECRETARIO:
Arturo
Daniel
Daniel
Rafael
TESORERO:
Rafael
Rafael
Arturo
Arturo
Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.
A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n
Ejem.
10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800
8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320
6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.
Obtención de fórmula de permutaciones.
Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solución:
Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.
Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)
si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
= n!/ (n – r)!
Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.
nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces
nPn= n!
Ejemplos:
1) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
Solución:
Por principio multiplicativo:
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.
Por Fórmula:
n = 25, r = 5
25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación
2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera
Por Fórmula:
n = 8, r = 8
8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.
b. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
Por fórmula:
n =8, r = 3
8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
3) ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.
Solución:
a. Por fórmula
n = 6, r = 3
6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles
Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo
b. Por el principio multiplicativo
6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles
¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.
4) a. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?
Solución:
a. Por fórmula:
n = 12, r = 5
12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego
a. Por principio multiplicativo:
1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición
a. Por principio multiplicativo
1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas
5) Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso
Por fórmula:
26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso
a. Por fórmula:
1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6
b. Por fórmula:
1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar.
ESPACIO MUESTRAL
Espacio muestral
Definición
En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.
Tipos de espacio muestral
Un espacio muestral Ω es discreto, cuando Ω es un conjunto discreto, es decir, finito o numerable; y es continuo, cuando no es numerable.
Particiones
Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:
tal que
1.
2.
3.
Ejemplos
Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}
Ω'={2,3,4,...,12}
La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.
Definición
En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.
Tipos de espacio muestral
Un espacio muestral Ω es discreto, cuando Ω es un conjunto discreto, es decir, finito o numerable; y es continuo, cuando no es numerable.
Particiones
Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:
tal que
1.
2.
3.
Ejemplos
Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}
Ω'={2,3,4,...,12}
La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.
TEORIA DE LA PROBABILIDAD
Teoría de la probabilidad
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleatorios en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que este se realizará. Los eventos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0 y el evento es cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por que donde:
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
Según Spiegel (1) la definición clásica de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables
EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3
Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un numero de especifico de casos y solo nos pueden dar un numero especifico de resultados.
Probabilidad continua
Una variable aleatoria es una función
que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
Función de densidad [editar]
Artículo principal: Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional a la ,,probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
pB(A) ó p(A\B)
Dicha probabilidad se calculará de la siguiente forma:
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La teoría de la probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de una moneda.
Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos aleatorios en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).
Definición clásica de probabilidad
La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que este se realizará. Los eventos tienden a ser una frecuencia relativa del número de veces que se realiza el experimento.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.
La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0 y el evento es cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por que donde:
Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω.
Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática
Según Spiegel (1) la definición clásica de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente probable) se define la probabilidad estimada o empírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando Ω es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como
,
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.
La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que Ω debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.
Probabilidad discreta
Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables
EJEMPLO 1: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3
Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un numero de especifico de casos y solo nos pueden dar un numero especifico de resultados.
Probabilidad continua
Una variable aleatoria es una función
que da un valor numérico a cada suceso en Ω.
Función de densidad [editar]
Artículo principal: Función de densidad
La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad.
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional a la ,,probabilidad de que un suceso se cumpla habiéndose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera:
pB(A) ó p(A\B)
Dicha probabilidad se calculará de la siguiente forma:
2 UNIDAD **PROOBABILIDAD**
Probabilidad
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Interpretaciones
La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.
HistoriA] [
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."[1]
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:
1. es simétrica al eje y;
2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;
3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.
Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,
siendo c y h constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).
Teoría
La probabilidad constituye un importante parametro en la determinacion de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadistico.
Existen diversas formas como metodo abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numerica, esta ultima con un alto grado de aceptacion si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel minimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad. asi mismo es la parte de lae
Aplicaciones
Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.
Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.
Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se cálculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.
Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.
Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. Por consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera carta en un baraja de cartas es la J de diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza, entonces la probabilidad es o bien 100% o 0%, y la elección correcta puede ser hecha con precisión por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios.
En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocido, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Los físicos se encuentran con la misma situación en la teoría cinética de los gases, donde el sistema determinístico en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro ) que sólo la descripción estadística de sus propiedades es viable.
La mecánica cuántica, debido al principio de indeterminación de Heisenberg, sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas. Algunos científicos hablan de la expulsión del paraíso.[cita requerida] Otros no se conforman con la pérdida del determinismo. Albert Einstein comentó estupendamente en una carta a Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Estoy convencido de que Dios no tira el dado). No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad. Mucha gente hoy en día confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Interpretaciones
La palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.
HistoriA] [
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Según Richard Jeffrey, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."[1]
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:
1. es simétrica al eje y;
2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error igual a 0;
3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.
Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,
siendo c y h constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.
En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.
En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).
Teoría
La probabilidad constituye un importante parametro en la determinacion de las diversas causalidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadistico.
Existen diversas formas como metodo abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numerica, esta ultima con un alto grado de aceptacion si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel minimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad. asi mismo es la parte de lae
Aplicaciones
Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.
Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.
Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se cálculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.
Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.
Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad. También se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una situación. Por consiguiente, puede haber una probabilidad de 1 entre 52 de que la primera carta en un baraja de cartas es la J de diamantes. Sin embargo, si uno mira la primera carta y la reemplaza, entonces la probabilidad es o bien 100% o 0%, y la elección correcta puede ser hecha con precisión por el que ve la carta. La física moderna proporciona ejemplos importantes de situaciones determinísticas donde sólo la descripción probabilística es factible debido a información incompleta y la complejidad de un sistema así como ejemplos de fenómenos realmente aleatorios.
En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocido, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Los físicos se encuentran con la misma situación en la teoría cinética de los gases, donde el sistema determinístico en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro ) que sólo la descripción estadística de sus propiedades es viable.
La mecánica cuántica, debido al principio de indeterminación de Heisenberg, sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas. Algunos científicos hablan de la expulsión del paraíso.[cita requerida] Otros no se conforman con la pérdida del determinismo. Albert Einstein comentó estupendamente en una carta a Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Estoy convencido de que Dios no tira el dado). No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad. Mucha gente hoy en día confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.
lunes, 6 de octubre de 2008
MEDIDAS DE POSICION(CUARTILES,PERCETILES ETC)
Medidas de posición**
Las medidas de posición son unos estadísticos que nos sintetizan la información sobre los datos que analizamos, facilitando su manejo. En lugar de trabajar con toda la tabla de frecuencias, las medidas de posición resumen los valores que separan a los datos en grupos significativos. Una medida de posición es un indicador que se usa para señalar qué porcentaje de datos dentro de la muestra se encuentra a un lado y a otro del mismo.
Cuartiles
Dados una serie de valores X1,X2,X3...Xn ordenados en forma creciente,
Definimos:
• Primer cuartil (Q1) como la mediana de la primera mitad de valores.
• Segundo cuartil (Q2) como la propia mediana de la serie.
• Tercer cuartil (Q3) como la mediana de la segunda mitad de valores.
En estadística descriptiva Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.
Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: k= 1,2,3
Donde:
• Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
• n = Número de datos
• Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.
• fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
• c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:
• El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase
• El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase
• El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.
Para Datos No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:
El primer cuartil:
• Cuando n es par: 1*n/4
• Cuando n es impar: 1(n+1)/4
Para el tercer cuartil
• Cuando n es par: 3*n/4
• Cuando n es impar: 3(n+1)/4
Quintiles
• Se representan con la letra K.
• Es el primer quintil. Separa a la muestra dejando el 20% de los datos a su izquierda.
• Es el segundo quintil. Es el valor que indica que el 40% de los datos son menores.
• Es el tercer quintil. Indica que el 60% de los datos son menores que él.
• Es el cuarto quintil. Separa al 80% de los datos del otro 20%.
Percentiles
• Se representan con la letra C.
• Es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.
Cuando los datos no están agrupados en intervalos los cuartiles, así como el resto de las medidas de posición, tienen un valor claro. Sin embargo, cuando tenemos una agrupación de los datos ya no es tan sencillo realizar el cálculo. Sí que resulta claro ver en cuál de los intervalos está el cuartil (quintil, decil o percentil) buscado, pero para calcular su valor exacto necesitaremos usar una fórmula.
Cálculos en Scilab / MATLAB:
• Los percentiles de un conjunto de datos son calculados con la instrucción “perctl”.
A esta instrucción hay que introducirle dos vectores. Uno de ellos “x” debe contener los datos que queremos procesar y en el otro “y”, valores enteros comprendidos entre el 1 y el 100. La función calcula cuales son los valores de “x” que se corresponden con los percentiles indicados en “y”. Para probar esta función vamos a introducir un vector x que contenga el conjunto de datos con el que queremos trabajar:
x=[7,12,4,8,3,10,11,5,13,1,12,3,5,1,17,4,8,8,7,19,8,1,7,17,4,7,1,7,3,7,3,13,3,4,7,8,10,2,5,11,5,4,3,5,8];
y=[15,25,60,80]
Con esto calcularemos los percentiles 15, 25, 60 y 80 del conjunto de datos del vector “x”
prctile(x,y)
ans =
3. 43.
3.5 5.
Las medidas de posición son unos estadísticos que nos sintetizan la información sobre los datos que analizamos, facilitando su manejo. En lugar de trabajar con toda la tabla de frecuencias, las medidas de posición resumen los valores que separan a los datos en grupos significativos. Una medida de posición es un indicador que se usa para señalar qué porcentaje de datos dentro de la muestra se encuentra a un lado y a otro del mismo.
Cuartiles
Dados una serie de valores X1,X2,X3...Xn ordenados en forma creciente,
Definimos:
• Primer cuartil (Q1) como la mediana de la primera mitad de valores.
• Segundo cuartil (Q2) como la propia mediana de la serie.
• Tercer cuartil (Q3) como la mediana de la segunda mitad de valores.
En estadística descriptiva Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.
Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: k= 1,2,3
Donde:
• Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
• n = Número de datos
• Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.
• fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
• c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:
• El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase
• El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase
• El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde:
• L1 = limite inferior de la clase que lo contiene
• P = valor que representa la posición de la medida
• f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
• Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
• Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.
Para Datos No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:
El primer cuartil:
• Cuando n es par: 1*n/4
• Cuando n es impar: 1(n+1)/4
Para el tercer cuartil
• Cuando n es par: 3*n/4
• Cuando n es impar: 3(n+1)/4
Quintiles
• Se representan con la letra K.
• Es el primer quintil. Separa a la muestra dejando el 20% de los datos a su izquierda.
• Es el segundo quintil. Es el valor que indica que el 40% de los datos son menores.
• Es el tercer quintil. Indica que el 60% de los datos son menores que él.
• Es el cuarto quintil. Separa al 80% de los datos del otro 20%.
Percentiles
• Se representan con la letra C.
• Es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.
Cuando los datos no están agrupados en intervalos los cuartiles, así como el resto de las medidas de posición, tienen un valor claro. Sin embargo, cuando tenemos una agrupación de los datos ya no es tan sencillo realizar el cálculo. Sí que resulta claro ver en cuál de los intervalos está el cuartil (quintil, decil o percentil) buscado, pero para calcular su valor exacto necesitaremos usar una fórmula.
Cálculos en Scilab / MATLAB:
• Los percentiles de un conjunto de datos son calculados con la instrucción “perctl”.
A esta instrucción hay que introducirle dos vectores. Uno de ellos “x” debe contener los datos que queremos procesar y en el otro “y”, valores enteros comprendidos entre el 1 y el 100. La función calcula cuales son los valores de “x” que se corresponden con los percentiles indicados en “y”. Para probar esta función vamos a introducir un vector x que contenga el conjunto de datos con el que queremos trabajar:
x=[7,12,4,8,3,10,11,5,13,1,12,3,5,1,17,4,8,8,7,19,8,1,7,17,4,7,1,7,3,7,3,13,3,4,7,8,10,2,5,11,5,4,3,5,8];
y=[15,25,60,80]
Con esto calcularemos los percentiles 15, 25, 60 y 80 del conjunto de datos del vector “x”
prctile(x,y)
ans =
3. 43.
3.5 5.
POBLACION
POBLACION
Población o Universo: es el total del conjunto de elementos u objetos de los cuales se quiere obtener información. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual, ya que puede referirse a personas, cosas, actos, áreas geográficas e incluso al tiempo.
La población debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio, de modo que ante la presencia de un potencial integrante de la misma, se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. Por lo tanto, al definir una población, se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quede perfectamente delimitado.
Población o Universo: es el total del conjunto de elementos u objetos de los cuales se quiere obtener información. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual, ya que puede referirse a personas, cosas, actos, áreas geográficas e incluso al tiempo.
La población debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio, de modo que ante la presencia de un potencial integrante de la misma, se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. Por lo tanto, al definir una población, se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quede perfectamente delimitado.
MEDIDAS DE DISPERCION
Rango estadístico
El rango estadístico o recorrido es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números. Se simboliza con la letra R mayúscula. Se tiene R = Xmax − Xmin.
Para averiguar el rango de un grupo de números:
• Ordene los números según su tamaño
• Reste el valor mínimo del valor máximo.
Ejemplo
Para una muestra (1, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 1 y el dato mayor es 100. Sus valores se encuentran en un rango de:
Rango = 100 – 1 =99
Varianza
En teoría de probabilidad y estadística, la varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su esperanza . Se define como la esperanza de la transformación : esto es,
Está relacionada con la desviación estándar o desviación típica, que se suele denotar por la letra griega σ (sigma) y que es la raíz cuadrada de la varianza,
o bien
Propiedades de la varianza
Algunas propiedades de la varianza son:
1. , propiedad que permite que la definición de desviación típica sea consistente.
2. siendo a y b constantes cualesquiera. De esta ultima propiedad es facil ver que la varianza de una constante es cero. i.e.
3.
Ejemplo de cálculo de la varianza
Aquí se muestra cómo calcular la varianza de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños. { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }
1. Calcular el promedio o media aritmética .
.
En este caso, N = 6 porque hay seis datos:
Sustituyendo N por 6
Este es el promedio.
2. Calculo de la varianza (muestral)
Sustituyendo N - 1 por 5 ( 6 - 1 )
Sustituyendo por 6.33
Esta es la varianza.
Varianza muestral
Dentro de la estadística descriptiva, la varianza muestral se utiliza como medida de dispersión, cuya definición es:
También se expresa como la diferencia entre el momento de orden 2 y el cuadrado del valor esperado:
Otra medida de dispersión similar, pero con la propiedad de insesgadez, es la cuasivarianza muestral:
Mientras que la desviación estándar se puede interpretar como el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio, la varianza está medida en "unidades al cuadrado".
Desviación estándar
Desviaciones estándar en una distribución normal.
La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para abordar las cuestiones que comentábamos en el párrafo anterior, nos valemos de herramientas como la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas están estrechamente relacionadas ya que definimos una a partir de la otra.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
El rango estadístico o recorrido es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números. Se simboliza con la letra R mayúscula. Se tiene R = Xmax − Xmin.
Para averiguar el rango de un grupo de números:
• Ordene los números según su tamaño
• Reste el valor mínimo del valor máximo.
Ejemplo
Para una muestra (1, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 1 y el dato mayor es 100. Sus valores se encuentran en un rango de:
Rango = 100 – 1 =99
Varianza
En teoría de probabilidad y estadística, la varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su esperanza . Se define como la esperanza de la transformación : esto es,
Está relacionada con la desviación estándar o desviación típica, que se suele denotar por la letra griega σ (sigma) y que es la raíz cuadrada de la varianza,
o bien
Propiedades de la varianza
Algunas propiedades de la varianza son:
1. , propiedad que permite que la definición de desviación típica sea consistente.
2. siendo a y b constantes cualesquiera. De esta ultima propiedad es facil ver que la varianza de una constante es cero. i.e.
3.
Ejemplo de cálculo de la varianza
Aquí se muestra cómo calcular la varianza de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños. { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }
1. Calcular el promedio o media aritmética .
.
En este caso, N = 6 porque hay seis datos:
Sustituyendo N por 6
Este es el promedio.
2. Calculo de la varianza (muestral)
Sustituyendo N - 1 por 5 ( 6 - 1 )
Sustituyendo por 6.33
Esta es la varianza.
Varianza muestral
Dentro de la estadística descriptiva, la varianza muestral se utiliza como medida de dispersión, cuya definición es:
También se expresa como la diferencia entre el momento de orden 2 y el cuadrado del valor esperado:
Otra medida de dispersión similar, pero con la propiedad de insesgadez, es la cuasivarianza muestral:
Mientras que la desviación estándar se puede interpretar como el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio, la varianza está medida en "unidades al cuadrado".
Desviación estándar
Desviaciones estándar en una distribución normal.
La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para abordar las cuestiones que comentábamos en el párrafo anterior, nos valemos de herramientas como la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas están estrechamente relacionadas ya que definimos una a partir de la otra.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Medidas de tendencia central
Medidas de Tendencia Central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:
Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 •entonces se suman las Notas:
2 5.4 6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6
3 3.1 •Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 27.6/5=5.52
5 6.1 •LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 5.52
La Media Aritmética
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media. (promedio)
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Es necesario tener agrupados los datos en forma ascendente o descendente, es decir, que se tenga como primer dato el máximo o el mínimo antes de calcular la media muestral.
Distintas formas de escribir la fórmula
Moda
Es el dato que más se repite en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintos carros en una carretera :
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz en ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles
Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser un valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
Observación
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:
Imagen:JaimeMedia3.JPG
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y Imagen:JaimeMedia5.JPG, es otra variable estadística que depende linealmente de x , entonces Imagen:JaimeMedia6.JPG. ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente.
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En estadística la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.
Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.
Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Siendo ni la frecuencia absoluta del intervalo modal y ni − 1 y ni + 1 las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Ahora vamos a ver un problema de ejemplo, solucionado con el programa de cálculo SCI-LAB.
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Vemos que el valor más repetido de calificaciones de alumnos es la nota 6, con un total de 9 alumnos.
Abrimos SCI-LAB; Creamos un vector x; que contendrá el total de notas sacadas por los alumnos;
-->x={1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9}
x =
column 1 to 13
1. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 4. 5.
column 14 to 26
5. 5. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6.
column 27 to 37
6. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 8. 9. 9.
Ahorá definimos un vector 'y', como las frecuencias absolutas de el vector 'x', mediante la función 'tabul(x)':
-->y=tabul(x)
y =
9. 2.
8. 4.
7. 4.
6. 9.
5. 6.
4. 4.
3. 4.
2. 2.
1. 2.
-->
Vemos que ahora tenemos en el vector 'y', en la primera columna las calificaciones, y en la segunda columna las freuencias absolutas de éstas. Ahora mediante la función 'max', sacaremos la frecuencia absoluta más alta.
-->[m,i]=max(y(:,2))
i =
4. //'i' nos indica el número de fila.
m =
9. //'m' nos indica la frecuencia absoluta más elevada.
-->
Ya sólo queda introducir el valor de 'i' en la matriz de frecuencias absolutas, eso sí, escogiendo la primera columna, que es la que nos interesa, la de las calificaciones:
-->moda=y(4,1) // el resultado es el elemento contenido en la fila 'i' y la columna 1(calificaciones).
moda =
6.
--> 6 pues, es la moda en cuanto a numero de alumnos que han conseguido esa calificación.
Ejemplo:
En la distribución:
5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2
La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.
Una distribución puede tener más de una moda si dos o más datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la más alta de la distribución.
Moda de datos agrupados:
Para calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente fórmula.
En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio.
Mediana
Definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él.
De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.
Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.
Observaciones:
• La mediana de un conjunto de datos es única.
• El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.
Uso de la mediana
Al tratar con datos agrupados, tendremos en cuenta que si n/2 coincide con el valor de una frecuencia acumulada, tomaremos como valor de la mediana el valor de la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, tendremos que calcular esa abscisa a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
Dónde Ni y Ni-1 son las frecuencias absolutas tales que Ni-1< n/2
Ejemplo (sobre la representatividad)
Supongamos que hay 19 "mendigos" o pobres y un millonario en una habitación. Cada uno pone $5 sobre la mesa pero el millonario aporta un millón. Eso da un total de $1.000.095.
Si el dinero se repartiese por partes iguales, eso daría un promedio (media) de $50.004,75, pero la mediana da $5, ya que si uno divide el grupo en 2, se puede decir que 10 personas aportaron $5 o menos, mientras que las otras 10 personas aportaron $5 o más.
En ese sentido, la mediana representa la cantidad típica que cada persona aportó. En contraste, el promedio es para nada típico, ya que nadie aportó ni cerca de los $50.004.75
Ejemplo ( N impar )
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 8 21 > 19.5
6 9 30
7 3 33
8 4 37
9 2 39
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2
Calculemos la Mediana:
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).
Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas -->
Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)
La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
Ejemplo ( N par )
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 6 19 = 19
6 9 28
7 4 32
8 4 36
9 2 38
Calculemos la Mediana:
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).
Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.
En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)
con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.
La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más
Medidas de Tendencia Central Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor más elevado ni el valor más pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos más bien que valores típicos. Entonces sería más adecuado buscar un valor central. Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos más bien que a individuos. Un promedio es una característica de grupo, no individual.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
La Media Aritmética
La medida de tendencia central más obvia que se puede elegir, es el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo. La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Ejemplo:
Notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6.0 •entonces se suman las Notas:
2 5.4 6.0+5.4+3.1+7.0+6.1=27.6
3 3.1 •Luego el total se divide por la cantidad de alumnos:
4 7.0 27.6/5=5.52
5 6.1 •LA MEDIA ARITMÉTICA EN ESTE PROBLEMA SERIA 5.52
La Media Aritmética
La medida de tendencia central mas ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como media. (promedio)
La media aritmética de un conjunto de n valores es el resultado de la suma de todos ellos dividido entre n.
Propiedades de la media aritmética
1. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa e intervalar.
2. Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
3. Una serie de datos solo tiene una media.
4. Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
5. Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero. Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
1. Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
2. No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Media muestral
Si se tiene una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn) de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,?) [donde ? es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima.
Es necesario tener agrupados los datos en forma ascendente o descendente, es decir, que se tenga como primer dato el máximo o el mínimo antes de calcular la media muestral.
Distintas formas de escribir la fórmula
Moda
Es el dato que más se repite en la cuenta. Si existen dos datos que se repite un numero igual de veces entonces el conjunto será bimodal. Ejemplo:
Numero de personas en distintos carros en una carretera :
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7
en este caso el numero que más se repite es 5 entonces la moda en este caso es 5.
Promedio Geométrico
La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz en ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.
Percentiles
Los percentiles representan los valores de la variable que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser un valor de 1% a 100% (en otras palabras, el total de los datos es divido en 100 partes iguales).
Observación
A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus ‘pesos’ respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:
Imagen:JaimeMedia3.JPG
La media es invariante frente a transformaciones lineales (cambio de origen y escala) de las variables, es decir si x es una variable estadística y Imagen:JaimeMedia5.JPG, es otra variable estadística que depende linealmente de x , entonces Imagen:JaimeMedia6.JPG. ( a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen).
== Propiedades de la Media o Promedio La media o Promedio tienen las siguientes propiedades
Se puede Sumar, Restar y multiplicar de la siguiente forma
Si tenemos :
1 - 2 - 3 - 4
entonces veremos lo siguiente :
Suma : Si sumamos una constante a cada variable veremos lo siguiente.
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 Media : Sumatoria de datos / Numero de datos => 10 / 4 => 2.5
Si
Datos : 1 - 2 - 3 - 4 + Constante : 1 Datos : [(1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1)] /4 => 14/4 => 3.5
Entonces Vemos: que si aumentamos una constante a cada dato también deberemos de aumentarla al resultado. De la misma forma se muestra para la resta y multiplicación.
Moda
En estadística la moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos.
Hablaremos de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.
Cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.
Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.
Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.
La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
Siendo ni la frecuencia absoluta del intervalo modal y ni − 1 y ni + 1 las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Ahora vamos a ver un problema de ejemplo, solucionado con el programa de cálculo SCI-LAB.
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Vemos que el valor más repetido de calificaciones de alumnos es la nota 6, con un total de 9 alumnos.
Abrimos SCI-LAB; Creamos un vector x; que contendrá el total de notas sacadas por los alumnos;
-->x={1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9}
x =
column 1 to 13
1. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 4. 5.
column 14 to 26
5. 5. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 6.
column 27 to 37
6. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 8. 9. 9.
Ahorá definimos un vector 'y', como las frecuencias absolutas de el vector 'x', mediante la función 'tabul(x)':
-->y=tabul(x)
y =
9. 2.
8. 4.
7. 4.
6. 9.
5. 6.
4. 4.
3. 4.
2. 2.
1. 2.
-->
Vemos que ahora tenemos en el vector 'y', en la primera columna las calificaciones, y en la segunda columna las freuencias absolutas de éstas. Ahora mediante la función 'max', sacaremos la frecuencia absoluta más alta.
-->[m,i]=max(y(:,2))
i =
4. //'i' nos indica el número de fila.
m =
9. //'m' nos indica la frecuencia absoluta más elevada.
-->
Ya sólo queda introducir el valor de 'i' en la matriz de frecuencias absolutas, eso sí, escogiendo la primera columna, que es la que nos interesa, la de las calificaciones:
-->moda=y(4,1) // el resultado es el elemento contenido en la fila 'i' y la columna 1(calificaciones).
moda =
6.
--> 6 pues, es la moda en cuanto a numero de alumnos que han conseguido esa calificación.
Ejemplo:
En la distribución:
5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2
La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces.
Una distribución puede tener más de una moda si dos o más datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la más alta de la distribución.
Moda de datos agrupados:
Para calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente fórmula.
En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio.
Mediana
Definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él.
De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.
Matemáticamente hablando la mediana sería: Me = , si n es impar --> Me será la observación central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.
Me = , si n es par --> Me será el promedio aritmético de las dos observaciones centrales.
Observaciones:
• La mediana de un conjunto de datos es única.
• El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.
Uso de la mediana
Al tratar con datos agrupados, tendremos en cuenta que si n/2 coincide con el valor de una frecuencia acumulada, tomaremos como valor de la mediana el valor de la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, tendremos que calcular esa abscisa a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
Dónde Ni y Ni-1 son las frecuencias absolutas tales que Ni-1< n/2
Ejemplo (sobre la representatividad)
Supongamos que hay 19 "mendigos" o pobres y un millonario en una habitación. Cada uno pone $5 sobre la mesa pero el millonario aporta un millón. Eso da un total de $1.000.095.
Si el dinero se repartiese por partes iguales, eso daría un promedio (media) de $50.004,75, pero la mediana da $5, ya que si uno divide el grupo en 2, se puede decir que 10 personas aportaron $5 o menos, mientras que las otras 10 personas aportaron $5 o más.
En ese sentido, la mediana representa la cantidad típica que cada persona aportó. En contraste, el promedio es para nada típico, ya que nadie aportó ni cerca de los $50.004.75
Ejemplo ( N impar )
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 8 21 > 19.5
6 9 30
7 3 33
8 4 37
9 2 39
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2
Calculemos la Mediana:
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho).
Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas -->
Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, serán puntos)
La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
Ejemplo ( N par )
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2
xi fi Fi
1 2 2
2 2 4
3 4 8
4 5 13
5 6 19 = 19
6 9 28
7 4 32
8 4 36
9 2 38
Calculemos la Mediana:
Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho).
Si volvemos a utilizar la fórmula asociada a la mediana para n par, obtenemos X(38/2) = X19 y basándonos en la fórmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar.
En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6, (desde el vigésimo hasta el vigésimo octavo)
con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos.
La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Estadística descriptiva
La estadística descriptiva es una parte de la estadística que se dedica a analizar y representar los datos. Este análisis es muy básico, pero fundamental en todo estudio. Aunque hay tendencia a generalizar a toda la población las primeras conclusiones obtenidas tras un análisis descriptivo, su poder inferencial es mínimo y debería evitarse tal proceder. Otras ramas de la estadística se centran en el contraste de hipótesis y su generalización a la población.
Algunas de las técnicas empleadas en este primer análisis de los datos se enumeran más abajo en el listado de conceptos básicos. Básicamente, se lleva a cabo un estudio calculando una serie de medidas de tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en torno a un valor central.
La estadística descriptiva es una parte de la estadística que se dedica a analizar y representar los datos. Este análisis es muy básico, pero fundamental en todo estudio. Aunque hay tendencia a generalizar a toda la población las primeras conclusiones obtenidas tras un análisis descriptivo, su poder inferencial es mínimo y debería evitarse tal proceder. Otras ramas de la estadística se centran en el contraste de hipótesis y su generalización a la población.
Algunas de las técnicas empleadas en este primer análisis de los datos se enumeran más abajo en el listado de conceptos básicos. Básicamente, se lleva a cabo un estudio calculando una serie de medidas de tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en torno a un valor central.
MEDICION
***MEDICION***
es el proceso por el cual se obtiene una medida para una propiedad de un elemento de muestreo, o un conjunto de ellos con el objeto de compararlos.
medida:
es el numero de unidades que posee una caracteristica en estudio.
TIPOS DE MEDICION:
directa:
es un proceso de visualizacion de comparar un objeto con una medida.
indirecta:
conciste en calcular la magnitud de una longuitud mediante ecuaciones.
****ERRORES DE MEDICION****
el error es un concepto fundamental de la ciencia
los cuales probocan perdidas de exactitud en las concluciones
***ERRORES DE MEDICION SE DIBIDEN EN DOS:
SISTEMATICOS:
se caracteriza por ser determinado en funcion de causas controlables o previsibles.
ALEATORIOS:
es aquel que se produce por factores que no son previsibles ni controlables.
es el proceso por el cual se obtiene una medida para una propiedad de un elemento de muestreo, o un conjunto de ellos con el objeto de compararlos.
medida:
es el numero de unidades que posee una caracteristica en estudio.
TIPOS DE MEDICION:
directa:
es un proceso de visualizacion de comparar un objeto con una medida.
indirecta:
conciste en calcular la magnitud de una longuitud mediante ecuaciones.
****ERRORES DE MEDICION****
el error es un concepto fundamental de la ciencia
los cuales probocan perdidas de exactitud en las concluciones
***ERRORES DE MEDICION SE DIBIDEN EN DOS:
SISTEMATICOS:
se caracteriza por ser determinado en funcion de causas controlables o previsibles.
ALEATORIOS:
es aquel que se produce por factores que no son previsibles ni controlables.
VARIABLES
unidad uno
**variable**
es una caracteristica que pertenece a un ser u objetivo y asume diferentes valores al ser medida o controlada en una investigaciono experimento.
**tipo de variables**
las variables se dividen en dos:
cualitativas y cuantitativas
cualitativas:
se refieren alas cualidades de los elementos del muestreo.
cuantitativa:
son aquellas que adquieren valores numericos de un elemento de muestreo
**cuantitativas se dividen en dos:
discretas y continuas.
**discretas:
son aquellas que tomas una cantidad finita o infinita pero contable de valores.
**continuas:
son aquellas que pueden tomar cualquier valor de los intervalos de numeros reales.
**variable**
es una caracteristica que pertenece a un ser u objetivo y asume diferentes valores al ser medida o controlada en una investigaciono experimento.
**tipo de variables**
las variables se dividen en dos:
cualitativas y cuantitativas
cualitativas:
se refieren alas cualidades de los elementos del muestreo.
cuantitativa:
son aquellas que adquieren valores numericos de un elemento de muestreo
**cuantitativas se dividen en dos:
discretas y continuas.
**discretas:
son aquellas que tomas una cantidad finita o infinita pero contable de valores.
**continuas:
son aquellas que pueden tomar cualquier valor de los intervalos de numeros reales.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
